Né sous l'empire à Bourg-la-Reine, Evariste était le deuxième enfant de Nicolas-Gabriel Galois et d'Adélaïde-Marie Demante. Son père, alors maire, qui dirigeait une institution d'enfants dont la Révolution avait fait la modeste fortune, lui laissa le modèle d'une philanthropie libérale et voltairienne. Sa mère le nourrit au grec et au latin dans la pure tradition chrétienne et légitimiste propre à une famille de magistrats et de juristes. A 12 ans, boursier au collège royal de Louis-le-Grand, il connut à la fois l'exaltation de sa génération et sa répression. A 15 ans, las des études littéraires, il découvrit les mathématiques, cours alors accessoire, et s'y jeta tout entier. Il prit le goût de la recherche et le dédain de l'exercice scolaire. Aspirant à entrer à l'Ecole polytechnique, où professait Augustin Cauchy, il se présenta seul et échoua une première fois. En 1828, il se vit reconnu, et mis au courant des recherches les plus récentes. Il assimila alors les notions et méthodes introduites par Gauss et par Cauchy auquel il adressa dès 1829 ses premières communications sur la théorie des équations.

Définitivement refusé à l'Ecole polytechnique en 1829 sur une question mineure, qu'il négligea de traiter, la jugeant sans intérêt, il entra à l'Ecole préparatoire (Ecole normale supérieure) et y rédigea un premier mémoire pour le grand prix de mathématiques de l'Académie des sciences en 1830, mais ses papiers furent déclarés perdus. Un an plus tard, un second mémoire fut rejeté comme incompréhensible. A ce moment, son père se suicida à la suite d'un complot politique du vicaire de Bourg-la-Reine et le jeune Galois fut expulsé de l'Ecole préparatoire après la publication dans La Gazette des écoles d'une lettre publique où il dénonçait l'attitude du directeur pendant les trois journées de la Révolution de Juillet. Il rejoignit alors les Amis du peuple et entra dans l'insurrection.

Arrêté en avril 1831 pour avoir porté dans un banquet républicain un toast : "A Louis-Philippe" et acquitté une première fois, il fut arrêté deux mois plus tard, au pont Neuf, en habit d'artilleur de la garde nationale, à la tête d'un cortège de manifestants. Emprisonné à Sainte-Pélagie, il y travailla sur les intégrales des fonctions algébriques et sur une "théorie de l'ambiguïté" dont rien ne subsiste. Le choléra décimant Paris en 1832, il fut transféré à la maison de santé du sieur Fautrier, où il retrouva quelque liberté et de décevantes amours qui provoquèrent un duel forcé. En effet, il tomba amoureux de Stéphanie Dumotel, la fille d'un médecin attaché à cette maison de santé. Dans la nuit précédant le duel, Evariste Galois écrivit à auguste Chevalier une lettre testamentaire, où il lui confie ses papiers relus en hâte : deux mémoires, une préface, des essais et des brouillons.

Galois, retrouvé sur le bord de l'étang de la Glacière, le ventre traversé par une balle de plomb, mourut d'une péritonite le 31 mai 1832. Ses amis républicains, qui le portèrent le 2 juin depuis l'hôpital Cochin jusqu'à la fosse commune du cimetière de Montparnasse, tombèrent pour la plupart sur les barricades de la rue du Cloître-Saint-Méry, trois fours plus tard.

La pensée de Galois s'est librement nourrie des travaux de Lagrange, Gauss, Cauchy, Abel et Jacobi. Dans un mémoire célèbre paru en 1770, Lagrange fait le point des recherches dans le domaine des équations algébriques. Il esquisse une théorie de la transformation des équations et met en évidence l'importance de la notion de permutation. Il retrouve par là les formules connues de résolution par radicaux des équations du deuxième au quatrième degré. Mais l'équation générale du cinquième degré lui résiste comme à ses prédécesseurs. En 1801, Gauss rédige une étude sur les équations binômes xⁿ-a=0 et les racines primitives de l'unité qui laisse pressentir l'utilisation par Galois de la théories des groupes.

Galois reprend le problème où l'avait laissé Niels Abel : les solutions par radicaux des équations algébriques. Il éclaircit sa notion de quantité rationnelle par rapport à d'autres quantités, parvenant à une notion très proche de celle de corps engendré par un ensemble fini de nombres algébriques. Il démontre que le corps engendré par les racines d'une équation algébrique est une extension simple du corps des coefficients et met en place certaines notions:

• -les extensions galoisiennes : une extension finie L d'un corps K, de degré n, est galoisienne si et seulement si le corps L^G des invariants du groupe de Galois G=G(L/K) est réduit à K. Le groupe de Galois est d'ordre n.
• -la correspondance de Galois : une extension galoisienne L d'un corps K étant donnée, l'application de l'ensemble des sous-groupes du groupe de Galois G(L/K) dans l'ensemble des sous-corps de L qui contiennent K, qui, à un sous-groupe H de G(L/K), associe le corps des invariants L^H, est bijective.

L'idée de Galois est de mettre en évidence le groupe des automorphismes de ce corps.

On a : l'équation irréductible proposée dont les racines toutes distinctes sont x₁, x₂,...x_n et q la quantité à partir de laquelle ces racines s'expriment rationnellement d'après le résultat précédent, on aura, pour chaque entier i £ n, x_i = f_i.(q). En remplaçant successivement f par chacune des racines de l'équation irréductible dont f est solution, les quantités q_i (f) s'échangent entre elles, et les permutations ainsi obtenues forment un sous-groupe du groupe des permutations des n racines. Galois le nomme groupe de l'équation proposée. Il fait correspondre, à chaque corps, K intermédiaire entre le corps A des coefficients et le corps B engendré par les racines de l'équation, un sous-groupe du groupe de l'équation.

Ainsi, la propriété d'être engendré par toutes les racines d'une équation auxiliaire (extension normale du corps des coefficients) est équivalente à celle d'être représenté par un sous-groupe distingué du groupe de l'équation. Pour qu'une équation algébrique soit résoluble par radicaux : il faut que son groupe C soit résoluble, ie qu'il possède une suite de composition : telle que tous les quotients G_i+1/G_i soient commutatifs. Ainsi, l'équation générale de degré n>4 n'est pas résoluble par radicaux parce que le groupe S_n des permutations de n objets n'est pas résoluble.

Cherchant à approfondir la structure de certains groupes finis, Galois est conduit à tenter leur représentation linéaire, d'abord sur les corps des classes d'entiers modulo un nombre premier. Ces recherches l'amènent à étendre à ces corps les notions d'équation irréductible et à donner une classification complète des corps finis. Galois étudie les intégrales de fonctions algébriques. Ici, on est réduit faux conjectures, Galois n'ayant laissé de ses recherches qui s'étendent sur plus d'un an, que les résultats auxquels il était parvenu. La lettre à Auguste Chevalier contient la classification des intégrales abéliennes en trois espèces, classification que Riemann devait obtenir 25 ans plus tard.