Niccolò Fontana, dit Tartaglia, est né à Brescia. Son surnom provient de "tartagliare" qui signifie "bégayer" en italien. En effet, Tartaglia avait un défaut de parole, séquelle d’une très grave blessure. Lorsque les Français saccagèrent la ville de Brescia en 1512, Niccolò et son père se réfugièrent dans une cathédrale. Cependant, les soldats de Louis XIV les découvrirent ; ils tuèrent le père de Niccolò, fracturèrent le crâne de celui-ci et lui ouvrirent la mâchoire d’un coup de sabre. Toutefois, sa mère le sauva de la mort.

De famille modeste, Niccolò ne peut aller à l’école mais sa mère économise et parvient à lui payer l’école pendant 15 jours. Il vole alors des livres et continue à apprendre en autodidacte. Adulte, il gagna sa vie en enseignant les mathématiques dans toute l’Italie et en participant à des concours mathématiques. Grâce à lui, les idées de grands mécaniciens du XIIIe siècle furent réétudiées, de même que celles d’Archimède.

L’histoire de la découverte de la résolution algébrique de l’équation du troisième degré met aux prises deux grands mathématiciens rivaux italiens, Cardan et Tartaglia, dans une controverse animée et sordide qui souleva des difficultés d’interprétation et dont le dénouement est assez inattendu.

Sciplone del Ferro, professeur de mathématiques à Bologne, semble être le premier à résoudre l’équation cubique x³=px+q et x³+q=px. (on ne travaillait autrefois qu’avec des nombres positifs)

Del Ferro ne publie pas ses résultats, mais les révéla avant sa mort à Antonio Maria Fior, son élève peu talentueux.

Tartaglia se consacre alors à la recherche d’une méthode de résolution d’équation et il arriva bientôt à résoudre des équations cubiques.

En 1535, Fior, n’étant plus le seul à savoir résoudre ces équations, lança à Tartaglia un défi public sous forme d’un concours portant sur la résolution de trente équations.

Fior proposa alors à Tartaglia trente équations du type x³+px=q.

Juste avant la date limite, Tartaglia trouva comment résoudre ce type d’équation et résolu les trente proposées.

Par contre, de son côté, Fior n’en avait résolu aucune car les équations proposées par Tartaglia étaient du type x³+px²=q alors que Fior ne savait résoudre que x³+px=q.

Tartaglia gagna alors le défit ; cette victoire ne fut d’ailleurs que pour l’honneur, puisque Tartaglia renonça au prix : trente banquets successifs !

Girolano Cardano se passionne lui pour les équations du troisième et quatrième degré à partir de 1539. Il fait venir Tartaglia chez lui ; il lui promet de lui présenter un mécène pour résoudre ses problèmes d’argent, en échange il demande à Tartaglia de lui révéler sa méthode en lui promettant de ne jamais la révéler. Tartaglia dévoile alors son secret à Cardan. Celui ci trouve alors la solution générale des équations du troisième degré. Mais Cardan apprend ensuite que del Ferro avait trouvé la solution avant Tartaglia ; se sentant trompé, il publie le résultat dans le livre Ars magna en 1545 et s’en approprie la découverte. A cette époque, il est le meilleur algébriste de toute l’Europe. Une violent dispute s’ensuivit entre Cardan et Tartaglia, dans laquelle ce dernier manqua de perdre la vie.

La lecture du traité de Cardan est ennuyeuse pour celui qui l’aborde aujourd’hui : l’équation cubique est étudiée, cas après cas, selon que les termes apparaissent dans tel ou tel membre de l’équation, car les coefficients sont nécessairement positifs.

Bien qu’il traître les équations avec des nombres, il pense géométriquement. Il a ainsi écrit : "Soit le cube et six fois le côté égal à 20" pour l’équation x³+6x=20.

Juanne de Tomini daCoi propose en 1540 à Cardan de résoudre x^4+6x²+36=60x. Cardan n’y arrive pas, il demande de l’aide à Ferrari. Celui-ci arrive à ramener l’équation à une équation du troisième degré que l’on sait maintenant résoudre. On généralise alors la méthode consistant à ramener une équation du quatrième degré à une équation du troisième degré pour les résoudre. Cette résolution apparaît dans le livre Ars Magna de Cardan.

La résolution des équations cubiques et quantiques fut peut-être la plus grande contribution à l’algèbre depuis les Babyloniens, qui 4000 ans plutôt, avaient appris à complèter le carré pour la résolution des équations quadratiques. La solution de la cubique amène les mathématiciens à s’intéresser à de nouveaux nombres: les nombres irrationels, négatifs et imaginaires.

En 1572, dans Algebra, Bombelli couronne l’oeuvre des savants italiens en réalisant la première étude véritable des nombres imaginaires.