Dans le domaine des probabilités, son nom demeure attaché à la loi normale, dite de Laplace-Gauss, dont la répartition est décrite par la fameuse courbe en cloche, appelée également courbe de Gauss. Cette loi statistique intervient dans les processus aléatoires continus (voir " statistiques ").

En 1796, Gauss découvrit une solution au problème de construction du polygone régulier de 17 côtés, à la règle et au compas. Poursuivant ses investigations, il démontra que la construction, à la règle et au compas, d’un polygone régulier comportant un nombre impair de côtés n’était possible que pour un nombre égal à l’un des nombres premiers 3, 5, 17, 257 ou 65537, ou à un produit de ces nombres (voir " construction de polygones réguliers "). Par ailleurs, il s’intéressa à la géométrie des surfaces courbes, développée en termes de coordonnées intrinsèques, dites gaussiennes. Cette géométrie particulière, qui ne tient pas compte de l’espace dans lequel se trouve la figure géométrique à étudier, fut à l’origine d’une réflexion plus vaste sur les premiers espaces courbes non euclidiens.

En 1799, Gauss proposa une première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre, qui stipule que le nombre de racines d’une équation algébrique est égal au degré de cette équation. Ce théorème, dont la démonstration avait résisté aux mathématiciens les plus célèbres, est aussi appelé aujourd’hui le théorème de d’Alembert-Gauss. Gauss étudia également certaines séries particulières, les séries hypergéométriques, dont il donna les conditions rigoureuses de convergence.

En théorie des nombres, Gauss se révéla très précoce. Encore étudiant, il retrouva de manière rigoureuse les principaux résultats connus depuis Euclide. Puis, il proposa une représentation géométrique des nombres complexes comme points du plan, utilisant ce résultat pour traiter l’équation complexe.

A partir de 1801, Gauss se pencha avec un intérêt croissant sur l’astronomie. Il calcula ainsi les orbites de petits astéroïdes tels Cérès et Pallas. L'astéroïde Cérès avait été brièvement observé en janvier 1801 mais, après une étude de 41 jours, avait été perdu dans l'éclat du soleil. Gauss calcula son orbite en utilisant la méthode des moindres carrés et prédit correctement où et quand Cérès réapparaîtrait. Après cette réussite il accepta un poste d'astronome à l'observatoire de Göttingen.

En 1820 Gauss inventa l'héliotrope, un instrument muni d'un miroir mobile qui réfléchissait les rayons du soleil ; il fut utilisé en géodésie*. Pendant la fin des années 1820, en collaboration avec le physicien Wilhelm Weber, Gauss explora diverses branches de la physique et effectua des recherches de base en électromagnétisme, en mécanique, en acoustique et en optique. Tous deux découvrirent ainsi les lois de Kirchhoff et construisirent le premier télégraphe, capable d’envoyer des messages sur une distance de 1500m.

*géodésie : science de la forme et des dimensions de la Terre

Les statisticiens se sont aperçus que de nombreux ensembles de mesures avaient le même type de distribution. Par exemple, l’ensemble des masses de N haricots prélevés au hasard dans un sac a le même type de distribution que l’ensemble des pressions barométriques enregistrées par différents étudiants lisant successivement sur le même baromètre. Les scientifiques ont donc été amenés à concevoir des modèles mathématiques qui soient le reflet des lois statistiques souvent rencontrées. L’une de ces lois, appelée loi normale, correspond au cas où la densité de probabilité y en fonction de la valeur x peut s’écrire sous la forme :

La représentation graphique de cette relation est une courbe en forme de cloche appelée courbe de distribution normale :

Si une variable x a une dimension normale, la probabilité que x soit compris entre a et b est donnée par l’expression :

La construction des polygones à 3, 4, 5 et 15 côtés était connue d’Euclide (début du III^è siècle avant J.-C.), la construction du polygone à 17 côtés a été découverte par Gauss, en 1796, à l’âge de 19 ans. La formule qu’il a trouvée est :